ENAC Maths toutes filières 2007

ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNÉE 2007

coucçuræs DE RECRUTEMENT
D'ELEVES PILOTE DE LIGNE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1 '

Ce sujetcomporte :
o 1 page de garde,
. 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 1 page d'avertissement
. 9 pages de texte numérotées de 1 à 9.

CALCULATRICE AUTORISÉE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati-
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est--à-dire épreuve de mathématiques (voir modéle ci--dessous).

POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :
» BON MAUVAIS MAUVAIS

>< >< >< >< X " >< >< xxxxxxxxxxxxxxxx & BL 9 $? 8 Z |- G AXE 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse- ment. 4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé. 5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques---- tions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 ques- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 36, correspond sur la feuille--réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. ' Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : > soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

> soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

> soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

> soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE REPONSES

Question 1 : 12 +22 vaut:
A)3 B)5 C)4 D)-1

Question 2 : le produit (--1) (-3) vaut:
A) -3 B) --1 C)4 D)O

Question 3 : Une racine de l'équation x2 -----1 := 0 est:
A)1 B)O C)-1 D)2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

[II:] -- (::.: [:::] [:::]
A B C D E
1 E:: [:::] E:] E:] :::]
:::] 1223 E:: ::::1 _
A B C D E
2 1:23 E::J [:::] [:::] ::::

ÜHÜ

QUESTIONS LIEES

1à4

5à9
10à21
22à32
33à36

PARTIE I

2i1:/...

?. On considère le système (E)

On désigne par ] le nombre complexe e
x+ y + z m a
x+j y +sz * b
x+fy +jz = c

où a, b, c désignent trois nombres complexes donnés.

Question 1 : Le nombre complexe ] vérifie
A) fm1
B) 13 ---1...--...- 0
C) l+j+f= ()
D) 1...-- j -- f=-- ()

Question 2 : Les nombres complexes x, y, z vérifiant le système (E) sont tels 
que
A) 3y+(x+z)(l+ j + f) = a+ bj2+ cj
B) 3y+(x+z)(l+j+f) = a+ b + c
C) 3y+(x+z)(l+j +_j2) = a+ bj + cf
D) 3x+@+z)(l+ j + j'") =----* a+ bj2+ cj

Question 3 : Le système (E)
A) n'admet pas de solution
B) admet au moins deux solutions
C) admet une solution unique x=(a+b+c)/3 y=(a+ bj2+ cj)/3 zæ(a+ bj+ of)/3
D) admet une solution unique x=(a+b+c)/3 y=(a+ bj+ ch)/3 z==(a+ bj2+ cj)/ 3

Question 4 : Une condition nécessaire et suffisante pour que x, y, z vérifiant 
le système (E)
soient des nombres réels est

A) a, b, c réels

B) a, b, c complexes non réels

C) aréeletb*cm0

D) a réel et b et c complexes conjugués car j2 et (--j ) sont complexes 
conjugués

PARTIE 11

11 étant un entier naturel et a un nombre réel non nul on pose :

e'"cosnxdx et v,,=Ç e"sinnxdx

Question 5 : u,, vérifie, pour tout n entier naturel

'Il: .
A) u,, 3 (l/an) [ eax sin nx] pour n entier strictement positif et ug----* 
(e""--l)/a
@

%

B) un ===-- (l/a) [ e"Dc (cos nx ---- (n/a)sin ax)] + ("z/az) un '
0

1L'

C) u,, & (l/(nz--t--a2)) [ e'" (acos nx + nsin nx)]
()

D) un a (1/(n2--Æ))((--1)"ea" a--a)

Question 6 : v,, satisfait, pour tout n entier naturel non nul

7!

A) v,, =?"-- (l/an) [-- e'"' cos nx]
@
B) v,, «"="---- (1/a) [ eax (sin nx -------- (n/a)cos nx)] Î--(nz/a7") v,,
0

C) v,, w (1/(nz--m--a2)) [ e"x (noos nx --- 6: sin nx)] "
0

D) v,, a (1/(nz--x--a2))((--1ÿ+lnea" +n)

Question 7 : La valeur absolue de "un est, pour tout n entier naturel , majorée 
par
A) lal/(nz+az)
B) lal(l+e"'Ü/an»«a2l
et celle de v,, est majorée par
C) n(l--e"")/(nz+a2)
D) (l+e"")/(an)

Question 8 : La suite (v2k), k entier strictement positif, est équivalente à la 
suite de terme
général

A) (l--e'"')/(2k)

B) (l+ea")/k

C) 1/(2k)

D) l/k

Question 9 :
A) les suites (un) et (v,,) ne peuvent être convergentes car elles ne sont pas 
de signe

constant
B) les suites (un) et (vn) convergent car toute suite majorée est convergente

C) la suite (un) converge vers 0
D) la suite (un) diverge car la suite de terme général cos nx n'admet pas de 
limite

PARTIE III

On considère les fonctions (... qui à u élément du segment I=[O,n/2], associe
(p1(u)= l/(x2 (cos u) 2 + (sin u) 2 ) et ([)2 qui à u élément du segment I 
associe
(pg(u)m (sin u)/(x2 (cos u) 2 + (sin u) 2 ), x étant un paramètre réel.

Question 10: La fonction (pl
A) est définie sur I pour tout x réel
B) est définie sur I pour tout x réel positif ou nul
C) est définie et... continue sur I pour x réel strictement positif
D) est continue sur 1 uniquement pour x réel strictement positif

Question 11 : La fonction (pg
A) est dérivable sur I pour tout x réel non nul
B) est dérivable sur I pour tout x réel
C) est dérivable sur ]0,7£/2] pour tout x réel et a pour dérivée
O

D) n/2 s. lim f(x)

x------------>O

Question 19: Lorsque x tend vers +oc, f(x) a pour limite, si elle existe,
A) +oc
B) -------oc
C) 7c2/4
D) (n°:/4) -- (a:/2)

/2

Soit g la fonction définie sur ]0,+oc[ par g(x) = {(a / (x (cos u) 2 + (sin u) 
2 )) du
0

Question 20: x désignant un réel strictement positif et k un réel tel que 0 < | kl < x/2, on pose, pour tout u appartenant au segment I P === x (cos u)2 + (sin u)2 et Q = k (cos u)2 . On a A) 1/ (P+Q) * (UP) ------- (Q/P2 + (QQ/26"2 gP+Q))) B) " (P+Q) " (UP) + (Q/P ) ------ (Q /(P (P+Q))) n/2 flZ/2 C)! ((g(x+k)-- g(x))/k)+F(cosuÿ/{x(cosu)2+(sinu)2)zdul sl kl]u(cosu)"/{(x/Z)(cosu)2+(sin u)2)3du 0 0 TE/2 D) g est dérivable sur ]O,+oc[ et a pour dérivée g'(x) =_ &u(cosu)Z/(x(cosu)z+(smu)2)2 du 0 Question 21: On a _ A) f(x) x x g(x) pour tout x appartenant à l'intervalle ]0,+oc[ B) f(x) ===-- x g(x2) pour tout x appartenant à l'intervalle ]0,+oc[ C) f est dérivable sur ]O,+oc[ et a pour dérivée . n/2 f(x)=g(xz)+2xz 8°(X2) "'--"'" 8u(3ch(cosu)2+(sinar)2)/(xz(cosu)z+(sinu)z)2 du 0 D) f n'est pas dérivable sur ]0,+oc[ PARTIE IV Dans l'espace vectoriel F des fonctions réelles définies et indéfiniment dérivables sur [R, on considère l'ensemble E des fonctions de la forme P(x) ch x + Q(x) sh x où P et Q sont deux fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2. On désigne par f1, f2, fg, f4, fig, f6 les fonctions définies Sur IR par fl(x)= ch x, fi(x)----*--= sh x, f3(x)= xch x, fl(x)m xsh x, f5(x)= xzch x, _ f6(x)= xzsh x. Question 22 : L'ensemble E A) est un anneau B) est un sous--espace vectoriel de F C) n'est pas un sous--espace vectoriel de F D) groupe pour la loi de multiplication des fonctions Question 23 : On pose j(x)== (À1+7t2 x+À3 x2) ch 3: + (...+... x+u3 x2) ex A) la fonction f(x) e"x tend vers 0 lorsque x tend vers +oc quelque soit les réels 7\'1_97\2:17\'3 9H1>H2a!l3

B) la fonction f(x) e"x tend vers 0 lorsque x tend vers '+oç si et seulement si
7t1+ M1 OEÀ2+ ll2 «"---7\.3+ M3 =()

C) la fonction f(x) ex tend vers 0 lorsque x tend vers --oc quelque soit les 
réels

Â1,7ï2,7&3 ,u1,H2,H3
D) la fonction f(x) ex tend vers 0 lorsque x tend vers +oc si et seulement si

7&1 "HI =M "M2 "'--""M "#3 30

Question 24 : La famille des six fonctions f1, f2, fg, f4, f5, f6
A) est une famille génératrice et liée de E
B) est libre mais n'est pas une base de E

C) est une base de E
D) n'est ni libre ni génératrice dans E

Question 25: On note D l'application de F dans F qui à une fonction f associe 
sa dérivée f '
A) D est une application linéaire de E dans F mais n'est pas un endomorphisme
de E
B) D n'est pas un endomorphisme de F
C) D est un endomorphisme de E
D) D n'est pas une application linéaire

Question 26 : La matrice de D dans une base de E constituée à l'aide des 
fonctions fl, fig, f3,
f4,fs,fs est

A) une matrice carrée d'ordre 5

B) une matrice carrée d'ordre 6 symétrique réelle

C) une matrice carrée d'ordre 6 antisymétrîque réelle

D) une matrice à 5 lignes et 6 colonnes

Question 27: L'application D
A) réalise une bijection de E sur lui- -même
B) ne réalise pas une bijection de E sur lui-même car elle n'est pas injective
C) ne réalise pas une bijection de F sur lui-- -méme car D(f+k)=D(/) avec k est 
une
fonction constante donnée
D) réalise une bij ection de F sur lui--même

Question 28 : On note id l'application identique de F dans lui--même.
A) l'image de E par l'application (D2-- id) est l'espace vectoriel de dimension 
4
engendré par la famille (fi, f2, fg,, f4) _
B) l'image de E par l'application (D2-- id) est un espace vectoriel de 
dimension 3
C) l'image de E par l'application (DZ--« id)2 est un espace vectoriel de 
dimension 3
D) l'image de E par l'application (D2-- id)'°, pour p entier supérieur ou égal 
à 3 est
l'espace réduit au vecteur nul

Question 29 : Le noyau de l'application (D2-- id)
A) est réduit à l'application nulle car (Dz--« id) est une application linéaire 
inj ective
B) est l'espace des solutions de l'équation différentielle f "---f=0
C) est l'espace des solutions de l'équation différentielle (f ')2 ----f=0
D) est l'espace de dimension 2 engendré par la famille (f1,f2)

Question 30 : Le noyau de l'application (DZ---- id)2
A) est réduit à l'application nulle car (D2-- id) est une application linéaire 
injective
B) est l'espace des solutions de l'équation différentielle } "------F0
C) est l'espace de dimension 2 des solutions de l'équation différentielle)" 
"--------F 7\. ch
x + u sh 3: où 7L et u sont des constantes réelles
D) est l'espace de dimension 4 engendré par la famille (f1,f2, f3, f4)

Question 31 : Le noyau de l'application (l)2-- id)3
A) est l'espace des solutions de l'équation différentielle f "-------# 0
B) est l'espace de dimension 2 des solutions de l'équation différentielle

f"--------f---- M ch x + 111 sh x+ 7t2 xch x+ ... xsh x où M, X2, ..., 112 sont 
des
constantes réelles

C) est l'espace de dimension 4 engendré par la famille (fl, f2, fo,, 12)
D) est réduit à l'application nulle car {D2-- id) est une application linéaire 
injective

Question 32 : L'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire
y") --3 y") +3 y "------y = 0
A) est égal à Ker((D2---- id)')
B) est égal à Ker((DZ---- id)")
C) est l'espace vectoriel, de dimension 6, E
D) est égal à Im((D3-- idf)

PARTIE V

Soit 11 un entier positif ou nul, on note E,, l'espace vectoriel des polynômes 
à une indéterminée
X à coefficients réels de degré au plus égal à n.

Il existe, pour tout n entier naturel, un et un seul polynôme P,, appartenant à 
E,, qui vérifie

cos(nx) z P,,(cos x) pour tout x réel

Question 33 : On a pour tout n entier strictement positif
A) Pn+1 + Pn-I : X Pn

B) P... ... P..., n 2X P,,

C) P,, a Z (...1)P( " ) X"? (1---- X2)P

052p$n p

D) P,,m Z (") X"'2p (X2--1)P

0_<_2p_<_n 2p Question 34 : Ces polynômes vérifient pour tout n, P',, désignant le polynôme dérivé de P,,, A) P,,(O) : l et P,, est pair sin est pair B) P,,(--l) : 0 et P,, est impair si n est impair C) P2,,(O) : (--1)" et P'g...(0) === (----1)"(2n + 1) D) P,,(----l) m (----1)"' et P',,(----l) : 0 Question 35 : Pour n>0, lorsque x tend vers +oc, la fonction polynôme P,,(x) 
est équivalente à

A) 2"x"

B) 2n--Ixn
C) (n--1)!x"
D) 11! x"

Question 36 : Les polynômes P3 et P4 sont

A) Pgæ4X3--3X et P4 =8X4+8X2+1
B) P3==4X3+3X et P4 =8X4--8X2+1
(:) P3z3X3--4X et P4 = 12X4+8X2+1
D) P3m6X3--4X et P4 = 12X4--8X2+1