ENAC Maths toutes filières 2008

ÉCOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNÉE 2008

CONCQURs DE RECRUTEMENT
D'ELEVES PILOTE DE LIGNE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Ce sujet comporte : »
o 1 page de garde,
0 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 10 pages de texte numérotées de 1 à 10.

CALCULATRICE AUTORISÉE

ÉCOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE EPL/S 2008

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati-
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est--à--dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :
BON MAUVAIS MAUVAIS

>< & ><>< >< >< >< >< 68199t88l--0 ... 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse-- ment. 4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé. ÉCOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE . EPL/S 2008 5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques-- tions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 ques- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 36, correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 a 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : > soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

> soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

> soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

> soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE REPONSES

Question1 : 12 +22 vaut:
A)3 B)5 C)4 o)-1

Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut:
A) -3 B) -1 C) 4 D) 0

Question 3 : Une racine de l'équation x2 --1 = 0 est:
A)1 B)O C)-1 D)2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

:: - l:l |: :D
A B C D E
1 :: E:] :: l=l «:|
=: :: :: L:":l _
A B C D E
2 :: E:: !: |: :=:
_ :=: _ := c::
A B C D E
3 :: [::: :::! :: :=:

EPL Mathématiques

-----......,

1)Dans les assertions suivantes lesquelles sont vraies?
a)V9 EUR IR, cos 59 = 16 cos5 9 + 5 0089
b)V9 EUR IR, cos 56 = 160055 9 -- 20cos3 9 + 50089

5+8\/Ë
c) cos---- 10=
_ s- _Î_«ä __
d) cos 10 - 8 car cos ... £ cos-- 3

? ?) On

2)Soit le plan rapporté à un repère orthonormé direct (0,

considère alors les points [(I, 2), M- --- (2, 3)et M'(\/Ë, 3 + \f-- )
La similitude de centre I qui transforme .M en M ' est alors:
a) de rapport 2
b) d'angleî ---
_ c) de rapport %
d) d'angle %

7

n

3) Soit n EUR I N *, on cherche à résoudre }: (E") cos (2k9) : 0 où 19 est une
. k=1

inconnue réelle

a) Si 9 est solution alors 2 (Z) sin2(k9) : 2"
k=l

b) Ë (Z ) cos (2k9)-- --- cos(n9) (°°Se)n

c) L'ânsemble des solutions est {35 + 1535 ,la E Z} U {--2- + 1971", k EUR Z}
(1) Il n' y a pas de solution à cette équation

4) On considère l'application f qui à tout complexe z # 73 associe f (2) ==
z+i '

2

On note U = {z E C, |z] : 1} et iIR : {z EUR C,Re(z) : 0}
a) f est une bijection de O\ {73} dans C

h) f(IR) = U

"C) f(U) = 73--ÏR\ {i}

d) f(z'IR) = [R

5) On cherche le lieu des points d'afiixe z tels que z, z2 et z5 soit les 
afiixes

de trois points alignés. On note H cetensemble de points et HC l'ensemble

de leurs affixes. -
a) 2: EUR HC ©z E [R ouz3 +z2 +z est imaginaire pur
b) Im (z3 +z2 + z)= 3(Re(z))2 --(lm(z ))2 +2Re(z )+
c) H est une hyperbolle équilatère centrée en (-----1-3--, 0) de1 grand axe 
par--

allèle à l'axe des imaginaires, de demi grand axe \/â

(1) H contient une hyperbolle centrée en (-- %, O) de grand axe parallèle

à l'axe des imaginaires, de demi grand axe \/% et dont les asymptotes on

comme coefficients directeurs \/5 et -\/5

6) On considère les suites (un)7722 et (un)"22 définie par:

Vn _>_ 2,u,, = H cos--2% et U,, = unsin-ZÏ%
' k=2
a) (un)n>2 est croissante et majorée par 1. Elle converge donc.

"' . ,, , . . 1
b) (un)">2 est une suite geometnque de raison 5

C) (un)n£2 et (vn)n_>_2 sont adjacentes
d) (un)n22 converge vers %--

Attention: questions 7 et 8 liées
7) Soit la fonction réelle f de la variable réelle t définie par:

Vt > O, f(t)= ln(l +t)+ 1+t2
a) f est indéfiniment dérivable sur son ensemble de définition, croissante

et concave.
b) La courbe représentative de f admet une asymptote oblique en +oo

car lim @ = 1

t---->+oo t _
c) f réalise une bijection de [R+ sur [R+ et sa bijection réciproque est

dérivable sur [R+ car Vt > O, f'(t) % 0
d) f réalise une bijection de [R+ sur [R+ et sa bijection réciproque

est dérivable sur [R+ car toute bijection dérivable admet une réciproque
dérivable

8) En utilisant f définie en question 7), on peut montrer que

Vn EUR IN*,3la... f(an) = %

a) (an)ngN* est une suite croissante car f"1 est décroisSante et (% )nEIN*
est décroissante '

b) (an)ngN* converge vers 0 puisque f "1 est continue en 0 _
c) (an)ne 1N* converge vers 0 puisque (an)ngN* est une suite décroissante
et Vn EUR IN*,an > 0

1 _ ._......
d) an ;; ;

9) On suppose que f est une fonction continue sur IR admettant une

limite finie EUR erÎî+oo et a est un réel strictement positif.

y , ,
a) y ----> f f (t)dt est continue sur [y, y + a] et dérivable sur ]y, y + a{ , 
Vy EUR
_ 0

[R

b) yËmoeyÎaf(t)dt = CM
0) X1--È--l--loo'of f(t + a) -- f(t)dt = ôff(t)dt + a£

X
' _ 1
d) Xl£ïïiæÛf arctan(t + 1) -- arctan tdt -- 5 ln2 -- %

10) On cherche à comparer e"' avec son développement limité:
n+l

a) 39 EUR]O,1[,Vn EUR IN, ex : Z %} + (äËl)!eeoe
k=
2n+ä k

b) Va: EUR IR,Vn EUR IN,e'° _>_ 2 %,--

k=0
. 271
c) Va: EUR IR,Vn e IN,e'" z ; %!"-
k=0

271
d) Vx EUR IR--,Vn EUR IN,e°" 5 Z %
l--c=0

11) Soit a et 1) deux fonctions réelles à valeurs strictement positives de la
variable réelle 3: et a E I R tels que a(cv) ... b(a:)

Cl!
3.) Il existe une fonction 6 définie sur un voisinage de a avec lim e(æ) = O

et ln(a(oe)) : 1n(b(gg)) + ln(1 + EUR(ÇE)) x--+a
10) ln (a(oe)) r; ln(b(oe))
c) ln(1 + % +sin2oe) Î)J ln(1 +93) car 1 + %-- +sin2æ ,; 1 +9:

(1) ln (|sinxl) Î)J ln(|xl) car lsinæ| r5» [cul et que |a:| # 1 sur un 
voisinage de

12) Quelques limites en utilisant des équivalents:
a) Pour ,5 # O et a réels lim 01n°°S°"° -- ----Ë----2--

cosflæ_
0Inc: ___"2
b) Pour B = 0 et & réels lim...îîËî -- %5

:::--+0

c) lim (tg-- 3_2g)tg(3æ)_ e--1

æ--+%

d) lim (tg-- 3--2-OE-)t9(3x) =e

OE--+-6--

13) Soit la fonction réelle f de la variable réelle 3: définie par:

:::--l

Va: = @, f(æ) = e? et f(0) = 0

a) f est continue sur IR, dérivable sur IR*, non dérivable en 0
b) V.?) E IR*, f'(æ)= ----e-'%--=1--

c) Sur1[1, +oo[, f ne possède qu'un extremum en 2, puisque '
f' (a:) = 0 ==> 513 = 2
d) f (a:) = a: admet deux et seulement deux solutions sur IR car la droite

d'êquation y = a: est tangente à la courbe représentative de f

14) Soit la fonction réelle f de la variable réelle oe définie par

f(x) = e% \/x(sv + 2) '

a) Auxvoisinages de +00 et --oo ona ,/x(cc + 2) = cc (1 + % ---- 551?" + 0 (%))
b) En +oo, la courbe représentative de f admet la droite d'équation

y = a: + 2 comme asymptote
o) En -oo, la courbe représentative de f admet la droite d'équation y =

a: + 2 comme asymptote _
d) En --oo, la courbe représentative de f admet la droite d'êquation y =

:D + 2 comme asymptote et la courbe est au dessus de son asymtote.

15) Si f est une fonction continue sur un intervalle réel [a, b] (a < b) a) lim 1 nz f (a+k-"----"°' )= Îf(t)dt n-->+oon

b) lim lâf(a+ kër-fi) = ff(t)dt

n--++oo"'

> ,/H-neêml+ )
d) ,/figo--

16) On considère la fonction réelle f de la variable réelle a: définie par

f (:): f 3 "Ma: où [oe] note la partie entière du réel a:

;,-- ...:--..A

a) f est définie sur [R car a: ----+ 3454 admet une limite a droite et à gauche
en tout point

b) Vn 5 IN, f(n) = 31--3--

c) Pour montrer que f admet une limite en +oo il est suffisant de montrer

que (f(n))nelN converge

d) f est croissante sur I R+ et majorée par --În--ädonc elle admet une limite -
3_

finie qui est la même que la limite de ( f (fi))...E I N 2

17) On cherche à déterminer les fonctions g de classe O1 sur IR+* et
vérifiant

(P) VOE > O, g'(OE) = 9 (à)

a) Si g vérifie (P) alors g de classe C2 sur IR+* et a:2g" : g

b) Comme a: > 0, on peut poser 33 = et et si h(t) : g(æ(t)) alors h" ----
h' + h-- -- 0

c) Les fonctions 9: a: --+ \/-- [A cos (\/_ln cc) + Bsin (x/Ë 3ln $)]
où (A, B) EUR I R vérifient (P)

d) Comme l'équation différentielle (P) est du second ordre et homogène
l'ensemble des solutions forment un espace vectoriel de dimension 2

18) Si c > 0, on cherche a résoudre l'équation aux dérivées partielles (E):
02%};-- ----- %ÊJÂ-- : 0 où f est une fonction de IR2 à valeurs réelle 
admettant des

dérivées partielles secondes. On posera u(æ, y) : x+cy et v(æ, y) = x---- cy.On
notera g(u, v)= f(æ(u, @) y(u, v))

Ôu ôoe Ôy'
b) QQ. _ lê£ _ _1__ê£

ôu _ 2653 2côy

329 __ __1_ 232f 52)"
0) (ma, -- 462 [EUR 5372 "* a}?

d) (a:, y) ------> e%h(cy) + 2 est une solution de (E)

H Q ©E®ËOÜ @... OEËËOEOEOQ GO ?:

8Aâ1NÎ% ...5 H w ...Î....Ë Nanomæñ...Ë... ËËHQ...

? ..v. Q v %Ëmhw v @ w 35 ... $$... " S...Tg ?...
$fioeeîoe 803 T $6o
%: +! mm...:

QY oeë£ ....oeËoËo Ëoe> :o Ëo©

... & oeËfi flo %

b)go 1(=D) {(p,9)61R' 0 _<_eg g,zsm9 _<_p< 1} 6 . 20) Soient n et p deux entiers naturels non nuls et cc un entier relatif non nul et non égal à 1. a) Vn 2 1, æ""1 ---- 1 et a: sont premiers entre eux en utilisant le théorème de Bezout b) Vn _>_ 2, p divise æ2 -- a: <==> p divise a:" -- a: car si p divise un 
produit
ab il divise a ou I) (avec a, () entiers naturels)

On cherche l'ensemble U des entiers relatifs a: tels que Vn _>_ 2, 6 divise '
æ" ---- a:

c)UÇ {6k,k EUR Z}U{l +6k,k EUR Z}

d) U= {6k,k EUR Z}U{l+6k,k 6 Z}

21) Soit E un ensemble a n éléments (n EUR I N *).On va dénombrer des
parties de E, (X, Y, Z) sur lesquelles on posera certaines contraintes:

a) Le nombre de couples (X, Y) tels que X n Y = @ est 3"

b) Le nombre de couples (X, Y) tels que X U Y = E est 3"

c) Le nombre de couples (X, Y) tels que (X, Y) forment une partition de
E est 3" » 4

d) Le nombre de triplets (X, Y, Z) tels que X U Y : Z est 3"

22) A propos des structures

a) L'ensemble des polynômes de degrés égaux à n (n > 1) pour l'addition
usuelle des polynômes est un groupe

b) L'ensembles des matrices "carrés de taille n (n > 1) pour la multiplica--
tion usuelle des matrices est un corps

c) L'ensemble des suites convergeant vers () pour la multiplication usuelle
des suites est un groupe '

(1) Si G est un groupe pour une loi T donnée et a E G, l'ensemble

aG : {aTæ, a: E G} est un groupe pour T

23) On considère P un polynôme non nul tel que P (X 2) ----P (X +1)P (X ) =

a) Si a est une racine de P Vn EUR I N *, a?" est encore une racine de P

b) Si a est une racine de P Vn 6 IN, a2n est encore une racine de P
c) Si a est une racine de P,il existe p tel que a = op
(1) Les racines de P sont des racine&ri@ l'unité

24) Soit P = 2 aka avec Vk' EUR [{0,ñ|] ,a, "6 Z
k=0 '
a) Si (p, q) EUR ZXZ * premiers entre eux et tels que % est racine de P alors
p divise ao et q divise an
b1) Si 2X3 --X2 -- 13X +5 admet une racine rationnelle c'est nécessairement
1, 5,1--20u %

c) 2X42 + X 2 + 5X1+ 5 admet une racine rationnelle
(1) Si P= X" + Zî:1 a,kaavec Vk EUR []1, n -- 1]], ok EUR Z alors si P possède

une racine rationnelle elle sera entière.

25) Les polynômes de Tchebychev (Tn )nEIN vérifient
T n(cosEUR)--- ---- cosn6, V6 EUR IR

a) cos n9- -- Re(e 9") = z (gg) (cos 9)""2k (1 -- cos 29)2k,V9 E [R donc

052k5n
(Tn)nelN existe et peut être choisie à Coefficents entiers

b) Si Tn et T" sont deux polynômes deTchebychev alors ils sont égaux

car Va: EUR [--1,1],Tn(x)= n(x) et (Tn)nerN est unique

c) Vn EUR I N * ,Tn+1 = 2Tn -- X 2Tn__1 puisque cos [(n + 1) EUR] = 2 cos (n9) 
--
cos 29 cos [(n -- 1) 9]

d) Vn EUR IN* ,deg(Tn )- --- n et 362 EUR IRn_1'[X] ,Tn = X"+Q

26) racines multiples

a) Vn E IN\ {O, 1, 2} , P,,(X) = Ê,Ç, X--k-- possède au moins une racine mul--
tiple car P,', = Pn_1 ' k=0
b) Vn EUR I N , P,,(X ) = :O %; est l'unique polynôme vérifiant Pn -- P,', =

c) Vn EUR IN*, nX"+2 ----- (n+2)X"+l+ (n+2)X--n admet 1 comme racine '

double
(1) Si m est divisible par n alors Va E 0, X m --- am est divisible par X " -- 
a"

27) On se place dans E l'espace vectoriel des fonctions de IE" dans IR*

a) Vn EUR ] N , (l, cos a:, cos 233, ..., cos nas) est une famille libre
b) Vn E IN, (1, cos a:, cos 233, ..., cos" a:) est une famille libre
c) (dur:, 5h33) est une famille liée - ---- -

d) (1, arctan a:, arctan %) est libre

28) Soit F et G deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel E

a) Supposons l'existence d'un 33 EUR F et 93 $ G, alors

Vg E G, F U G sous espace vectoriel de E ==> x + 9 E F

b) Si la réponse de la question a) si elle est vraie entraîne que F U G ne

peut être un sous espace vectoriel de E
c) F U G ne peut être un sous 'espace vectoriel de E que si F C G

d) Si F C G alors F U G sOus espace vectoriel de E

29) Soit H et K deux sous espaces vectoriels supplémentaires d'un espace
vectoriel E de dimension finie. Soit (el, ..., ek) une base de K et a E H

a) Dim{ vect(el + @, ..., ek + a)) < k _ b) vect(el + a, ..., ek + a) est supplémentaire à H c) vect(el + a, ...,ek + a) = K d) , On peut montrer ici que tout sous espace vect0riel d'un espace vectoriel de dimension fini admet au moins deux supplémentaires 30) E est un espace vectoriel de dimension finie. f E L(E), ensemble des endomorphismes de E. Les conditions suivantes sont équiValentes à ker f EB Im f = E a) kerf C ker f2 b) Imf C Imf2 c) kerffilmf=® d) f2 =]" (f est un projecteur) 31) E est un espace vectoriel de dimension finie. f E L(E), tel que fin E [N \ {O, l},fofo...of= f" = 0 et f""1 75 0 a) Vsc e E, <æ, f<æ>, f2eul,nu2

34) Soit f : Mn(l R) --> IR et vérifiant f (AB) = f(A) f(B),V(A, B) E
(Mn(IR)) 2 '

a) f est un morphisme de groupe pour Mn(_Ï R) muni de la multiplication
usuelle des matrices .

b) f(On) = 0 et f(In) = 1 (On est la matrice nulle de Mn(IR) et In la
matrice identité) _

c) Si 319 EUR IN,A1D : 0 alors f(A) : 0

On rappelle que si 7° = rangA < n, BJ,. e Mn(IR),tefle que Jn--r = on , (P, Q) & [Mn(lR)]2 inversible telles que A = PJ,...Q ' d) A inversible (=) _g f (A) # 0 35) E est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 dont une base est B et dont on note le produit scalaire < .,. > . On note u : (a,b, c)B un
vecteur normé fixé de E et a un scalaire. On définit fa par Va: E E, f (sc) =

a: + a < sc, u > u
a) fa est un automorphisme orthogonal si et seulement si a = --2

b) f2 est un automorphisme orthogonal
c) f_2 est la symétrie orthogonale par rapport au plan-vectoriel orhogonal

a u
d) f2 est la symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielle en--
gendrée par u '

' . ' -:> --.> --+
36) L'espace E est raporté a un repère orthonormal (O , z , ] , k) L'espace

vector1el assoc1é E est raporté à. la bas*e*=(*z, 3, is)
Soit D la droite de E dont la représentation paramétrique est donné

oe=l+t
par: y=1--2t
z=1+t_

a) Les coordonnées du point symétrique de M (a, b, c) par rapport a D

--26+ --23b+ ---2b+
sont (1+a 6 ° ,1--a ° ,1+@-------- 6 °)

b) Les coord0nnées du point symétrique de M (a b, c) par rapport a D

sont (6-- --2a--2b+c 6-- 2a+b--2c 6---- --2a--2b+c)
3 1 3 = 3
o) La droite symétrique par rapport a D de l'axe (zloz) a pour représen--
æ=2+t _
tation paramétrique : y = 2 --- 275
z=2--t
d) La droite symétrique par rapport a D de l'axe (zioz)à pour équations '
cartésiermesz{ 6 _ 2513 _ y = 0