Mines Maths MPSI 2000

CONCOURS COMMUN SUP 2000
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Mardi 23 mai 2000 de 08h00 à 12h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4 et 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière àla rédaction : 
les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées.

Les candidats collemnt sur leur première feuille de composition l'étiquette 
correspondant à l'épreuve et
figurant sur leur convocation.

PROBLÈME D'ANALYSE

D C° (R, R) est la R-algèbre des fonctions continues de R dans R.

D L'objectif du problème est d'étudier les ensembles 'Ë et 9 suivants :
'3={f EUR C°(R, R)/ V(x, y)E RZ, f(X+y)+f(x--y) = 2f(x)f(Y) }.
"?est la partie constituée des éléments f de % tels que :

0 f n'est pas la fonction identiquement nulle.
0 f s'annule au moins une fois sur R.

PARTIE I

H

. Montrer que la fonction cosinus est dans l'ensemble %.

2. On note ch la fonction cosinus hyperbolique et sh la fonction sinus 
hyperbolique. Démontrer la
formule: V(x, y) e R', ch(x+y) =chxchy + shx shy .

En déduire que la fonction ch est dans l'ensemble %.
3. Soit f dans %; montrer que pour tout réel en, la fonction fa de R vers R 
définie par :

x l--) fa(x) = f(a x) est dans '3.

4. On fixe un élément f de 'Ë.

En donnant à x et à y des valeurs particulières, prouver que :
a. f(0) vaut 0 ou 1.

b. Si f (0) = 0, alors f est la fonction identiquement nulle.
0. Si f (0) = 1, alors f est une fonction paire.

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PARTIE II '

A. On fixe ici un élément f de '3 tel que f (0) = l.
1. Montrer que pour chaque réel r > 0, on a :

a. VxeR, L:f(.: + y)aÿ = L'" f(u)du.
b. VxeR, 2 f(x) [ 0 f( y)dy = j'" f(u)du + J:fif(v)dv.

2. a. Montrer que l'on peut choisir r > 0 de façon à rendre strictement
positive la constante L: f ( y)aÿ.

Dans la suite de ce Z., on fixe un réel r > 0 qui vérifie : I (: f ( y)dy > 0.

b. En déduire que f est de classe C1 sur R.

c. Montrer alors que f est en fait de classe C °° sur R.
(1. Prouver l'existence d'une constante c > 0 telle que :

VxeR, c f'(x) = f(x+r)--f(x--r).
3. En déduire l'existence d'une constante réelle k telle que :
VxeR, f "(x): Àf(x).

B. Conclusion.
l. Résoudre sur R l'équation différentielle : y"= " y. , en séparant les cas : 
u > 0, p < 0 et u = O. 2. En déduire tous les éléments de "EUR en exploitant le 1.4.0. 3. Donner tous les éléments de 9. PARTIE 111 On se propose d'étudier l'ensemble 9par une méthode différente. On pourra utiliser librement le résultat suivant : SiaestunélémentfixêdeRî etsi Da ={ a--2'ÎÎ/pez qu }, tout réel est limite et 'une suite d'éléments de Da. Soitfun élément de ?. On pose E = {x > 0 / f(x) = O}.
A.
1. Montrer que f (0) = l, et que f s'annule au moins une fois sur R1.
2. Montrer que E admet une borne inférieure que l'on note a.
3. Prouver que f (a) = 0 (on pourra raisonner par l'absurde). En déduire que : 
a > O.
4. Montrer que : Vx e [O, a[, f(x) > 0.

B. On pose (0 = 2--"--, et on note g la fonction de R vers R : x |----> cos(oe 
x).
a

2
. a a
l. a. Smt qu ; montrer que : f(îî) +1 : 2l:f(2q+l ):l .

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. . a a
b. En déduire, en rarsonnant par récurrence sur q, que: quN, f(î_--I--) = g(57).

On démontrerait de même le résultat suivant que le candidat pourra utiliser 
librement :
si qu estfixé : VpeN, f(p%) = g(p-ä--).

2. Prouver que : Vx e D,, f(x) : g(x).
3. En déduire que f = g.

C. En déduire tous les éléments de 9.

PROBLÈME D'ALGÈBRE

Notations et objectifs :

D Soit n un entier, n 2 2 ; on note E = m,, (R) la R-algèbre des matrices 
carrées d'ordre n à
coefficients réels, et E ' = <£(E, R) la R--algèbre des formes linéaires sur E. On rappelle que : dim(E ) = dim(E'). Les éléments de E sont notés M = (m, I), la matrice élémentaire E, 1 est la matrice de E dont les coefficients sont tous nuls à l'exception de celui qui se trouve sur la i-ème ligne et sur la j--ème colonne, qui vaut 1. Lorsque A et B sont des éléments de E, on note A . B leur produit. Si M e E, on note vect (M) le sous--espace vectoriel de E engendré par M. El L'objectif du problème est de montrer que chaque hyperplan vectoriel de E possède au moins une matrice inversible. a Si M = (m,,) e E, on note T(M) le réel Em". k=l On définit ainsi une application T de E vers R : M l--> T (M ).
A chaque matrice U de E, on associe :

. L'application TU de E vers R : M l----) TU (M) = T(U. M).
. L'ensemble H,, = {Me E/T(U.M)=O }.

PARTIE I : Généralités, exemples

1. Quelques propriétés.

a. Montrer que T est une application linéaire.

b. Pour U e E, prouver que l'application T U est dans E '.

c. Soit U & E ; reconnaître Ker TU , et montrer que H U est un sous-espace 
vectoriel de E.

1 1

2. Dans cette question seulement, on prend n = 2, et on pose U = (l l] .
a. Ecrire les quatre matrices élémentaires E que peut--on dire de la famille 
(E11 , E... 521 , E 22) de

E : 'mz(R) ? _
b. Montrer que H U est l'ensemble des matrices de E dont la somme des quatre 
coefficients vaut 0.
c. Trouver une matrice M de E telle que T (U . M ) #= O, et en déduire la 
dimension de Im TU puis la

dimension de H U.

ij'

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d. Montrer que H ,, possède une matrice inversible.
La partie Il] propose une généralisation de ce résultat.

PARTIE II : Quelguoe résultats utiles pour la suite
Soit A = (a, 1) et B = (b") des éléments de E.

a. Montrer que T(A.B) = ZZaj,b,j.

tal j=l
b. En déduire les identités suivantes :

(Il) T('A.B)=Éîa,ij.

:=1 1-1
(12) T(B . A) = T(A . B).
Soit U dans E. 4
a. Si U est la matrice nulle, déterminer dim H U.

b. Si U n'est pas la matrice nulle, montrer que l'on peut trouver un couple 
d'entiers (io , je) tel que
TU (E....) # 0. En déduire dimHU.

Pour (i, j) e {l, 2,..., n}2, on note TU. = TE".

a. Les indices k et 1 étant fixés, calculer T, j (E ,, ,) en utilisant (Il).

b. En déduire que les n'- éléments 7} j de E ' permettent de définir une base 
de E '.

Montrer que l'application (p de E vers E ' : U |----> (p(U ) = T U est un 
isomorphisme d'espaces

vectoriels.

On considère un hyperplan vectoriel H de E.
a. Quelle est sa dimension ?
b. Soit A une matrice non nulle de E qui n'appartient pas à H, montrer que : E 
= H GB vect(A).

c. Construire alors un élément ! de E ' tel que H =Kerl.
d. Prouver l'existence d'un élément U de E tel que H = H U.

PARTIE III : Le résultat général

,
Pour 15r Sn, onnote R, =ZE,,.

!=]

0 0 . 0 1

1 . . . 0 p....=I,ISiSn--l
Soit F: . . . . . c'estàdire P=(p,j) avec Pu. =1

0 . . . 0 p,]. :O, ailleurs

0 0 . 1 0 '

a. Montrer que P est inversible.
b. Prouver que P appartient à l'hyperplan H R'.

En déduire que chaque hyperplan vectoriel H de E possède au moins une matrice 
inversible.
Indication : lorsque H = H U, avec U de rang r, on rappelle l'existence de 
matrices S1 et 82

inversibles telles que S1 . U. 82 = R,.

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