Mines Maths MPSI 2002

CONCOURS COMMUN SUP 2002
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve spécifique de Mathématiques

(filière MPSI)
Mercredi 22 mai 2992 de 98h09 à 12h00

Instructions générales :

Les candidats :
0 doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 
4/4,

. sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies 
illisibles ou mal présentées

seront pénalisées,
. colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à 
barres correspondante. '

PROBLEME I : Exemples de matrices semblables à leur inverse

Dans tout le problème, E est un lit-espace vectoriel de dimension 3.
Pour u endomorphisme de E et n entier naturel non nul, on note u" = u 0 u oo u 
(n fois).
On note 3% 3 (IR) le R--espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3, GL 3 
(R) le groupe des matrices

inversibles de M 3 (R), et 13 la matrice unité de M 3 (R).

On notera par 0 l'endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.
Pour deux matrices A et B de M 3 (R), on dira que la matrice A est semblable à 
la matrice B s'il existe une

matrice P de GL 3 (IR) telle que : A = P"B P.

On rappelle que si 13 et B ' sont deux bases de E, si P est la matrice de 
passage de la base 3 à la base B',
si u est un endomorphisme de E de matrice A dans la base 13 ' et de matrice B 
dans la base 3 alors
A : P"'B P ( c'est à dire, la matrice A est semblable à la matrice B ).

Partie A

1. On notera A ... B pour dire que la matrice A est semblable à la matrice B.
Démontrer que la relation ... est une relation d'équivalence sur M 3 (R).

On pourra désormais dire que les matrices A et B sont semblables.

2. Démontrer que deux matrices de M 3 (R) de déterminants différents ne sont 
pas semblables.

3. Soit u un endomorphisme de E et soit i et j deux entiers naturels.
On considère l'application w de Keru'" vers E définie par : w(x) : uj (x).

a. Montrer que Imw C KeruÏ
b. En déduire que dim (Keru'" ) _<_ dim (Kerui ) +dim (Keruj ). 4. Soit u un endomorphisme de E vérifiant : u3 = 0 et rang u = 2. a. Montrer que dim (Keru2) : 2. ( On pourra utiliser deux fois la question 3b. ). Concours commun Sup 2002 - Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 1/4 b. Montrer que l'on peut trouver un vecteur a non nul de E tel que u 2(a) # O, et en déduire que la famille (u 2(a), u(a), a) est une base de E. c. Écrire alors la matrice U de u et la matrice Vde u2 --- a dans cette base. 5. Soit u un endomorphisme de E vérifiant : u2 = 0 et rang u = 1. 3. Montrer que l'on peut trouver un vecteur 19 non nul de E tel que u(b) := 0. b. Justifier l'existence d'un vecteur c de Keru tel que la famille (u(b), (3) soit libre, puis montrer que la famille (19, u(b), c) est une base de E. c. Écrire alors la matrice U' de u et la matrice V' de u2 --- u dans cette base. Partie B Soit désormais une matrice A de M 3 (IR) semblable à une matrice du type T On se propose de montrer que la matrice A est semblable à son inverse A". 0 :O 0 6. Expliquer pourquoi la matrice A est bien inversible. B a On pose alors N 0 y , et soit une matrice P de GL 3(lRä) telle que P" A P = T = ]3 + N . 0 0 7. Calculer N3 et montrer que P"1 A" P = 13 --N+ N2 . 8. On suppose dans cette question que N = 0 , montrer alors que les matrices A et A"1 sont semblables. 9. On suppose dans cette question que rang( N ) = 2 . On pose M : N 2 ... N . 0 1 0 3. Montrer que la matrice N est semblable à la matrice 0 0 1 et en déduire, en utilisant la 0 0 0 question 4., une matrice semblable à la matrice M. b. Calculer M 3 et déterminer rang( M ) . 0. Montrer que les matrices M et N sont semblables. (1. Montrer alors que les matrices A et A"1 sont semblables. 10. On suppose dans cette question que rang ( N) : 1. On pose M = N 2 _ N . Montrer que les matrices A et A_lsont semblables. 1 0 0 Il. Exemplezsoit la matrice A: 0 0 --1 . 0 1 2 On note (a, b, c) une base de E et u l'endomorphisme de E de matrice A dans cette base. 3. Montrer que Ker (u --- id E) est un sous-espace vectoriel de E de dimension 2 dont on donnera une base (el, ez). b. Justifier que la famille (el, ez, c) est une base de E, et écrire la matrice de u dans cette base. c. Montrer que les matrices A et A"Isont semblables. Concours commun Sup 2002 - Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 2/4 12.Réciproquement, toute matrice de M 3 (R) semblable à son inverse est--elle nécessairement semblable 1 a B à une matrice du type T = 0 1 y ? 0 0 l . 1 1 PROBLEME Il : Calcul et irrationalité de Ç(2) : 11m (1+ E + % + 1% + + ""?) n--->+oo "

Dans ce problème, pour une fonction f et un entier naturel k, f ... désigne la 
dérivée k--ème de la

fonction f avec : f ... = f .
Remarque : sauf s'il est précisé entier naturel, un entier peut être positif ou 
négatif.

. " 1
Partie A : Convergence de la suite (2 ]
nZl

Î
... k

. " 1
Dans cette partie, p et n sont deux entiers naturels non nuls et on pose Sn( p) 
= E}--/;--p--.
k+1 --
>. 1 1 1
1. Montrer que pour tout entier k 21, S --dx S -------------- .
(k + 1)" x" k " \
k
1
2. Montrer que pour n 2 2, Sn(p) -- 1 S J----;dx S Sn_1 (p).
x
l
3. Démontrer, par un calcul d'intégrales, que la fonction x +---> -------1--; 
est intégrable sur [1,+oo[ si et
x

seulement si p .>. 2.

4. Montrer que la suite (S,,(p)),221 converge si et seulement si p 2 2.
On note alors Ç( p) : lim Sn( p).

H--)+°°

Partie B : Calcul de Ç(2)

2
Dans cette partie on pose, pour ! réel : h([) : -£-----_ ; , et on définit la 
fonction (p sur [O, R] par :

l()
it
l pour te]0,Tt].

25m--
2

5. Montrer que la fonction (p est de classe C 1 sur l'intervalle [O, R].

(p(0) : ...] et (DU) =

6. Calculer, pour tout k entier naturel non nul, Ï h(t)cos(kl)dt.
0

7. Calculer, pour t & ]O,7r], Ecos(kl) , puis déterminer une constante À telle 
que,

sin((n + %) !]

Vzë]o,n], Ecos(kt)=--------t------À.
k=l

28m--
2

Concours commun Sup 2002 - Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) 
Page 3/4

8. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour toute fonction tri 
de classe C 1 sur l'intervalle

713

[O, rt], lim Jw(t)sin[(n + â--) :] di: 0.

n--)+oo

0

2
9. Montrer que Ç(2) = %-- .

Partie C : Ç(2) est irrationnel

' - , x" 1---- x "
Dans cette partie, pour n ent1er naturel non nul et x reel, on pose fn (x) : 
---------£----'----)---- .
n .
10.Dans cette question, 11 est un entier naturel non nul.
. . . 1 2" .
3. Montrer qu'1]ex1ste n+l entiers en, e..., ...,62n tels que fn(x) : ---; ei 
x'.
n' i=n

b. Montrer que pour tout entier naturel k, fn") (O) et fn... (1) sont des 
entiers.

( On pourra remarquer que fn (x) : fn (l --- x) ).

On veut montrer que n2 est un irrationnel, et on va raisonner par l'absurde : 
on suppose que

a . .
rt2 == -- ou a et b sont deux ent1ers naturels non nuls.

b

11.0n pose, pour n entier naturel non nul et x réel : .
F,, (x) = I)" (n'" fn (x) --- n2""2 fn") (x) + n2""4 f,}" (x) -- + (-----1)" 
ff") (x)) .
a. Montrer que Fn (O) et F" (1) sont des entiers.

b. On pose, pour n entier naturel non nul et x réel : gn (x) : Fn ' (x) sin(7c 
x) -- 7t Fn (x) cos(n x ),
1

et An : TE Ia"fi(x)sin(n x)dx.

0
Montrer que, pour n entier naturel non nul et x réel : gn ' (x) : 7t2a" fn ( x) 
sin(7t x) , et montrer que

A" est un entier.

_ _ . _ a"
12.0n pose, toupurs pour le meme ent1er a, un : -------'-- .
n .

. , . u . .
a. En consrderant le quotient "" , montrer que 11m un : 0.
un n--->+oo
a" 1
b. Montrer qu'il existe un entier naturel no tel que pour tout entier n 2 no, 
__! <--2--. n . 1 c. Montrer que pour tout réel x EUR [0,1], 0 5 fn (x) 5 -'--1--'. d. Montrer alors que, pour tout entier n 2 no, An & ]0,1[, et conclure que 7t2 est irrationnel. e. Comment peut--on déduire de ce qui vient d'être fait que n est irrationnel ? Pour information \ Il a été prouvé depuis le 18"me siècle, que Ç( p) est irrationnel pour tout entier pair p 2 2 , récemment ( 1979) il vient d'être découvert que Ç(3) est irrationnel et le mystère demeure encore quant à l'irrationalité des Ç( p) pour les entiers impairs p 2 3 Concours commun Sup 2002 - Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 4/4