Mines Maths MPSI 2003

CONCOURS COMMUN 2003
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve Spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Jeudi 22 mai 2003 de 8h00 à 12h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4 et 4/4.

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : 
les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à 
code à barres corres-
pondante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Barème indicatif : '
Premier problème environ 1/2 - Deuxième problème environ 1/2

Premier problème

N désigne l'ensemble des entiers naturels et R le corps des nombres réels.

Dans tout le problème OL désigne un réel strictement supérieur à 1.

On pose : I(OL) : fÛ 1 + x"

L'objectif du problème est le calcul de l'intégrale I(OL).

+00 1

dx.

On rappelle que pour a et b dans R on a les formules :
1

cos(a)cos(b) = --2--(cos(a + b) + cos(a ---- b)).
sin(a) cos(b) : â--(sin(a + b) + sin(a ----- b)).

sin(a) -- sin(b) : 25in(a 5 b)cos(a _; b).

I. Quelques résultats préliminaires

Pour X dans R et pour n dans N * on pose : fIl (X) = z cos(kx).
k=1

' m{oen+nË)
Pour X EUR ]0,1r] et pourndans N on pose: gn(X) = _--_Î--2_'
sin(----)

2
1 1
Ï---- + _gn(X)'

1) Etablir la formule : V X EUR ]O,71] , fn(X) 2 2

On pourra, pour ce fa1re, s'1nteresser a la quant1te s1n ---- fn (X).
2

2) a) En déduire que gn est prolongeable en une application continue sur [Om].

On note encore gn l'application ainsi prolongée.

b) Pour 11 dans N on pose : url = ]; gn(X) dX.

Montrer que la suite (un) est constante et préciser sa valeur.

X
cos(--) -- 1
3) Soit g : [Om] ----> R définie par: V X EUR ]0,1T], g(x) = 
--------g--X-------- et g(0) = 0.
sin(--)
2
a) Prouver que g est continue en 0.
b) Etablir l'existence et déterminer la valeur de li0rn Og' (X)
X--> ,X>

c) Etablir que g est de classe C1 sur [0,11] et préciser g'(0).
11. Etude d'une suite

Pourn dans N* on pose: Xn = Lïfn(X)cos(â-) dX.

4) Pour 11 dans N on pose Vn = ]: g(x) sin((2n + 1)--Ë-) dX.

Montrer qu'il existe A dans R tel que : V n E N* , |an < On pourra, pour ce faire, effectuer une intégration par parties. 5) Etablir que: V n E N*, Xn = --gsin(ï) +--1-Vn +3. 2 01 2 2 Montrer que la suite (X) est convergente et déterminer sa limite. 1 1 1+oak+1--ock° 6) Montrer que: V n E N'", XnL = %sin(£)Z(--1)k OL k=1 III. Détermination de la valeur de [(a) tB--1 t"5 t 't ==---------. 1+teüi) 1+t On adopte la notation B = à et pour t E ]0,1] on pose : &p+oo n----++oo

b) Exprimer Jn(B) + Kn(B) a l'aide de Xn et de oc.

oa sin

c) Montrer que : I(d) = --------ÏÎ[--ç----.
&)

Second Problème

R désigne le corps des nombres réels et C le corps des nombres complexes.

M2(C) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients dans C.
1 0 0 --1 0 i --i 0

01 10 10etL=01'

Onposezl= ,J= ,K=

1. Etude d'une symétrie

On notera bien, que dans toute cette partie, M2(C) est muni de sa structure de 
C-algèbre.
a b (1 --b

PourA=C d _C a

dans MZ(C) on pose : 0(A) = et T(A) = a + d.

11) a) Montrer que 0 est une symétrie du C--espace vectoriel M2((C).

b) Etablir que (I,J,K,L) est une base du C--espace vectoriel M2(C) puis donner 
la matrice

de l'endomorphisme 0 dans cette base.

12) On considère A et B dans M2(C).
a) Montrer que : o(AB) = o(B) o(A).
b) Justifier l'égalité : Ao(A) = det(A) I.
c) Montrer que si A est inversib1e alors o(A) l'est aussi.

Exprimer les matrices o(A)"1 et o(A"') en fonction de A.

13) a) Vérifier que T est une forme linéaire sur le C--espace vectoriel M2((C).

b) Soit A dans M2(C). Exprimer o(A) a l'aide des matrices A, I et du complexe 
T(A).

11. Une R-algèbre célèbre :'l'algèbre des quaternions

On notera bien, que dans toute cette partie, M2(C) est muni de sa structure de 
]R-algèbre.

A tout couple (21,22) de nombres complexes on associe la matrice M(z1, 22) =

On désigne par H l'ensemble des matrices de M2(C) de la forme M(z17 z2) , le 
couple (21,22) décrivant C2.

14) a) Montrer que toute matrice de H s'écrit de manière unique sous la forme

od + BJ + qK + ôL où oz, B, «|, 6 sont des réels.

b) En déduire que H est un sous espace vectoriel du R--espace vectoriel M2(C).

Préciser une base et la dimension du R--espace vectoriel H.

c) Montrer que H est stable pour le produit matriciel.
d) Montrer que H est une R--algèbre. La R--algèbre H est--elle commutative ?
15) a) Vérifier que : V A E H , o(A) E H et det(A) EUR R+.
b) Montrer qu'une matrice non nulle de H est inversible et que son inverse est 
dans H.
c) Vérifier que (H \ {O},X) est un groupe.
16) Montrer que si deux entiers naturels peuvent tous deux s'écrire comme une 
somme de quatre

carrés d'entiers naturels alors il en est de même de leur produit.

On pourra exprimer det(M(zl,22)) comme une somme de quatre carrés de réels.

111. Un produit scalaire et une projection orthogonale

PourAetB dansHon pose: (A | B) = â--T(AO'(B) + Bo(A)).

17) On considère A et B dans H.
a) Prouver que (A | B) E R. On pourra utiliser la question 15) a)
b) Montrer que (A | A) = det(A).
c) Etablir que ( | ) est un produit scalaire sur le R--espace vectoriel H.

18) Vérifier que (I,J,K,L) est une base orthonormale de H.

19) On pose F = {A E H | T(A) = 0}.
a) Montrer que F est un hyperplan du R--espace vectoriel H. En donner une base.
b) Montrer que: Fl = {CLI , or EUR R}.

c) On désigne par 'n la projection orthogonale sur F.

Montrer que: V A E H, «(A) = %(A -- o(A)).

FIN DU SUJET