Mines Maths MPSI 2006

CONCOURS COMMUN 2006
DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI ALÈS DOUAI NANTES

Épreuve Spécifique de Mathématiques
(filière MPSI) '

Vendredi 12 mai 2006 de 08h00 à 12h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifierque le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4, 4/4.

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : 
lescopies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition I' étiquette à 
code a barres correspondante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit.

Barème indicatif : 10 pointS'pour chaque problème

Problème 1 : Analyse *

Dans tout le problème, on adopte la notation Ænk(à:) ( avec k EUR N* et a: 
EUR]0,g+oo[) comme écriture
simplifiée du nombre réel (En (sr)),EUR et par convention, on pose : EURn°(oe) 
= 1 ( y compris si x = 1).

Partie 1 : étude d'un arc paramétré ,

Pour tout nombre réel strictement positift, on pose: :c(t ) = t.£n3(t) et y(t) 
= t.EURn2(t).
On pose également æ(0)= y(0)= A E R. ' '

On souhaite étudier l' arc paramétré f . t |--> (æ(t),y(t)).

Le plan usuel de la géométrie est muni d'un repère orthonormal R = (O,ï,j).

Soit C l'ensemble des points du plan de coordonnées(æ(t), y(t)) lorsque t 
décrit R+.

1) Pour quelle valeur de A les fonctions 3: et y sont-elles continues en 0?

On suppose dans la suite que A prend cette valeur.

2) Déterminer, sur ]0, +oo[, les fonctions dérivées :c' et y' puis étudier leur 
signe.
3) Donner dans un même tableau les variations des deux fonctions :1: et y.

Dans ce tableau devront figurer les limites aux bornes, ainsi que les valeurs 
de m et y aux points particuliers.
Ces valeurs seront donnees sous l une des tr0|s formes swvantes: n, --5 ou bien 
--3 avec n EUR Z.

. e e
4) Montrer que, lorsque le nombre reel u est au v0|smage du nombre 0, on a :

æ(1+u)wu3 y(1+u)=u2+o(u3) _
En déduire que l'unique point singulier de l'arc, obtenu pour le paramètre t = 
to à déterminer, est un
point de rebroussement dont on précisera la nature. Représenter sur un schéma, 
sans étude supplémentaire,

l'allure de C lorsque't est au voisinage de to, en mettant en évidence la 
tangente au point--singulier.

3100

5) Déterminer les limites lorsque t tend vers +oo puis vers 0 (à droite) de la 
fonction t +----> --Ît--)--.
« a:

Conclure quant à la nature de la branche infinie de l'arc ainsi que sur 
l'existence d'une demi-tangente à
l'arc au point de paramètre t = 0. '

6)a) Déterminer les points d'intersection de C avec la droite A d'équation y = 
oe.

6)b) Tracer C, en prenant pour unité graphique 4 cm.

On donne les valeurs approchées suivantes ( à 07 01 près} : e"2 :: 0,14 et e"3 
2 0,05

Partie 2 : calcul de primitives

Soient & un nombre réel distinct de --1 et a: un nombre _réelquelconque 
strictement positif.
CC

1 / t"EURn"(t)dt.

Pour tout nombre entier naturel n, on considère le nombre réel: Z,, ((E)?-- --,
" 1

7) Calculer Z0(£C ) et Z1(cc ).
8) Déterminer une relation entre Zn+1(oe) et Z,, (a:).

9) Montrer: _ . --
--1 "+1 n --1 n+l_k £nk(oe) a+1

k=0 .
10) On note Ng l'ensemble des fonctions définies sur ]0, +00] à valeurs 
réelles, du type suivant

a: +--> p(Æn (oe)).:c°'

où p est une fonction polynomiale quelconque ( à coefficients réels) de degré 
au plus n.
Montrer que toute fonction élément de N; admet au moins une primitive élément 
de â+1.

\ Partie 3 : résolution d'équations différentielles

Dans toute cette partie, les équations différentielles considérées seront, sauf 
mention contraire, résoers
sur ]O,+oo[ : ceci signifie que" l'on ne s'intéresse qu'aux fonctions solutions 
définies sur ]0,+oo] et à
valeurs réelles. '

Soit & un nombre réel donné.

On considère les deux équations différentielles suivantes :
(El) : sc.y' -- cry = 0 ; » (E2) : 39.3)" + (1 -- 2a)oe.y' + a2y = 0

"où y est l'application inconnue de la variable réelle a: > 0 et à valeurs 
réell.es *

11) Déterminer toutes les fonctions de classe 61 sur ]0, +00] a valeurs réelles 
solutions de (El).
12)a) Soit h :O] ,+oo]--+ R une application quelconque de classe C2.

On définit alors une nouvelle application :

k:R--+R _ 4
u |------+k(U) = h(e")

Justifier que k est de classe C2 sur R.
Pour U E R, exprimer k'(u) et k"(u) à l' aide des dérivées première et seconde 
de h. -
12)b) Montrer que h est solution de (E2) (c est--à-- dire: Væ > O, 332. h"(oe)+ 
(1-- 2a)oe. h'(oe)+a%(oe) = 0)
si et seulement si on a : |

Vu G R, k"(u) '-- 2a k'(u) + a?k(u) = 0

12)c) Déterminer l' expression de k(u ) pour U E R lorsque h est solution de 
(E2).
12)d) En déduire que l' ensemble des solutions de (E2) est l'ensemble N,] ( cf. 
partie 2)
13)a) On considère l' application : .

P=OC°°<| | R) ----°Cΰ(lO +oo| R) y '-----> 56 y' --- ay
On pose : P1 = P et pourn EUR N*,Pn+1 =P" 0 P.
Pour y EUR C°°(]O, +oo],R), calculer (P o P)(y). En déduire : P2(y)= 0 (=) y 
EUR Nc].
13)b) Montrer par récurrence que pour tout n E N*, P"(y) = 0 est une équation 
différentielle d'ordre n

"du type
n----1 '
:c".y+oo

Partie 3 : étude d'une application linéaire

On note E l'ensemble de toutes les applications définies sur R à valeurs dans @.
On rappelle que E est un C--espace vectoriel pour les lois suivantes : si f et 
9 sont deux telles applications
et À un nombre complexe, alors f + Q et A.;" sont définies comme suit :

VOE EUR R» (f + g)(l') = f(oe) + 9-(93) et ] (M")(SE) = A.f(æ)

On note d'autre part [0] l'application nulle de R dans C, à savoir [0] : a: 
|--> O.

9) Pour ]" E E, on appelle g l'application définie par : Va: E R, g(oe) = f(oe 
+ 27r).

Montrer avec soin que l'application 90 : f |----> ga(f) = g est un 
endomorphisme de E.

Pour [EUR E N, on désigne par E,, le sous--ensemble de E constitué des 
applications du type : a: |----> P(oe).eiaoe
avec P E C;,]X].

10)a) Montrer que E,, est le sous--espace vectoriel de E engendré par la 
famille .73 = (fk)ogkgn où l'on

note :

fOZOEH6iOEOE;f1ÏOEHOE.ÊiQOE;___;fn' .ÎIÏl--->OEnEURiaæ

Montrer alors que f est une base de E,,.

10)b) Exprimer simplement E,,+1 à l'aide de E,, et de la droite vectorielle 
{À.fn+1/À E (C}.
11)a) Soit k 6 ]]0, n]]. Ecrire ga(fk) comme une combinaison linéaire des 
éléments de f.
11)b) En déduire: g0(E,, ) C E,,. '

12) On désigne par m | endomorphisme de E,, défini par: pour f E E,,, m(f)= 
g0(f).

On note M la matrice de m relativement à la base .7--Î Montrer que M est une 
matrice triangulaire
supérieure (d'ordre (n + 1)) que l'on présentera sous forme d'un tableau en 
faisant seulement figurer les
coefficients nuls, les coefficients diagonaux ainsi que ceux situés juste 
au--dessus de la diagonale.

13) Calculer, pour p E N , le déterminant de l'endomorphisme (rn)?

14) Pour & EUR Q*, donner le plus petit entier naturel non--nUl p tel que (m)10 
soit de déterminant égal à 1.

Partie4 : changement de base

On reprend toutes les notations de la partie 3.
On note id l'application identique de E... à savoir: id: f|----> f.
On considère un nouvel endomorphisme : EUR = m -- (e 2"""). id

15)a) Vérifier que Æ(f0) est l'application nulle [0].

15)b) Soit [EUR EUR []0, n ---- 1]].

Montrer que £(fk+1) est un élément de E,, et que sa composante selon f,, vaut: 
2(k + 1)7re
15)c) En déduire ( par récurrence). Vk EUR ]]0, 71], E;, C Ker (£k+1).

15)d) Etablir la propriété suivante:
Vk EUR ]]0, n]], £k(fk)= (lc! (27r)'"e 22"...") .f0

15)e) En déduire : EUR"(f,,) % ]O] et EUR"+1(f,,) = [O].

16) Montrer que B = (EUR"(f,,), £"'1(f,,), , EUR(f,,), f,,) est une base de E,,.

17) Déterminer relativement à la base 8 la matrice de EUR.

18) En déduire la matrice de m dans la base 8. On note M' cette matrice.

19) On note .]l,,+1 l' ensemble des matrices carrées A= (a,,j)(,,j)EUR]1,n+lflz 
à coefficients complexes vérifiant
' les quatre conditions suivantes.

0 al 1 est de module 1

. V(i,j)EUR]1,n+1]2, ,=aj,j

. ViEUR]]1,n]], a,,+1=7ai1

. V(i,j)EUR[]1,n+l]]2, ]j--iOE{O,1}©a,ü-=O]

Montrer que l'application qui à un nombre réel & associe la matrice M' est une 
surjection de R dans .]ln+1.

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