Mines Maths toutes filières 2001

CONCOURS COMMUN 2001
DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Epreuve de Mathématiques
(toutes filières)

.!eudi 12 mai 21!01 de 14h01! à 18h01!

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 4 pages numérotées 1/4, 
2/4, 3/4 et 4/4.

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédactiOn : 
les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à 
code à barres correspondante.

PROBLEME 1

Les parties A et B sont indépendantes, mais sont utilisées par la partie C.
PARTIE A :
Pour tout réel a positif ou nul, on note ga la fonction définie sur IRÎ,_ par 
ga(t) : t".

A.1. Montrer que la fonction ga est prolongeable par continuité en 0 (on notera 
toujours
ga la fonction ainsi prolongée, qui est donc définie et continue sur lR+). 
Préciser la
valeur de ga (0). Montrer que la fonction ga est de classe C1 sur lR+ pour a > 
1.

Soient a et b deux réels positifs ou nuls. On pose

- 1
I(a, b) :] ga(t) gg,(1 -- t) dt .
0
A.2. Justifier l'existence de l'intégrale I (a, 6). Comparer I (a, b) et I (I), 
a).
1
On écrira abusivement I(a, b) = / t"(1 ---- t)b dt.
' 0

A.3. Soient a et 6 deux réels positifs ou nuls. Trouver une relation entre I (a 
+ 1, b) et

I (a, b + 1).
A.4. Calculer I (a, 0). En déduire que, pour tout entier naturel n, on a
ni

I(a'n)= (a+1)(a+2)i...(a+n+i)'

A.5. Soient p et q deux entiers naturels. Exprimer I (p, q) à l'aide de 
factorielles.

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A.6. En déduire la valeur de l'intégrale

??

Î
J(p,q)=/ (sin9)2P+l(cosû)29+ld9,
' 0

où 19 et q sont deux entiers naturels.

PARTIE B :

Pour tout réel en strictement positif, on note fa la fonction définie par

fa(oe) =:c In (1 ---- fi) .

OE

B.1. Préciser l'ensemble de définition de fa.

On note Ca la courbe représentant la restriction de la fonction fa à 
l'intervalle ]a, +oo[.

B.2. Si a et ce sont deux réels tels que 0 < a < a:, démontrer l'encadrement £î 0 et on considère la suite y = (y") définie, pour tout entier 
naturel n tel

quen>a,paryn=(l----) .
n

Etudier le comportement (sens de variation, limite) de la suite (y").

PARTIE C :

Pour tout réel positif ou nul a: et tout entier naturel non nul n, on pose

Fn(æ)=/Ûn (1--ë)" u"'du.

C.1. Montrer que Fn(æ) == nx+1 I(æ,n).

(3.2. En utilisant les résultats de la partie B, montrer que, pour tout a: 
fixé, la suite
(F"(OE))nEIN* est croissante.

(3.3. On fixe cv 2 0.
a. Montrer l'existence d'un réel strictement positif U tel que

1

VuEURlR+ u2U=>e--u E(t), de IR vers M,,(lR), est 
injective.

0

1 1
A.6. Dans cette question, p = 3 et A = 0 1 . Expliciter la matrice E(t) sous la
0 0

0
0
forme d'un tableau matriciel pour t E IR.

PARTIE B :
Dans cette partie, on note 30 = (EÎ,EË) la base canonique de IRZ. Soit la 
matrice
A : (Î :Î) appartenant à. M2(IR). On note f l'endomorphisme de le qui lui est

canoniquement associé.

B.1. Montrer que F : Ker( f ----- 2idRz) et G : Ker( f ---- ide) sont deux 
droites vecto--

o , . 2 ; o . -------)

r1elles, supplementmres dans IR . Prec1ser un vecteur directeur u de F , et un 
vecteur
- ---->

d1recteur v de G.

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B.2. Sans calculs, déterminer la matrice de l'endomorphisme f de ]R2 dans la 
base
5 = (î, 'ïï' .

B.3. En déduire qu'il existe une matrice P inversible et une matrice D 
diagonale (toutes
deux carrées d'ordre deux) telles que A = PDP--1. Expliciter P, D et P"1.

B.4. Expliciter D" pour tout n entier naturel. Démontrer la relation A" = P D" 
P_1. En
déduire l'expression de A" sous forme de tableau matriciel.

PARTIE C.

On reprend les notations de la partie B.

(3.1. En utilisant l'inégalité de Taylor--Lagrange, montrer que, pour tout réel 
t, on a

et: lim ---- .
n--++oo k!
k=0

On pourra admettre le résultat de cette question pour traiter les suivantes.

(3.2. Pour tout réel t, pour tout entier naturel n, on note En(t) la matrice 
définie par
n k
t
E,,(t) : -ËÎAk. On écrira cette matrice sous la forme E,,(t) == (ÎZË3 ZZ((?) ).

k=0
Expliciter (sous forme de sommes) ses coefficients an(t), b,.(t), c,,(t), d" 
(t).

C.3. Pour tout t E IR, on note E(t) la matrice E(t) == (ÎË3 ZË3), avec

a(t) : lim an(t), b(t) = lim b,,(t), etc. Expliciter la matrice E(t).

Réponse partielle : on obtient a(t) : 3e" -- 2et.

(3.4. Montrer qu'il existe deux matrices Q et R (carrées d'ordre deux) telles 
que
VtEURlR E(t)=e2tQ+etR

et expliciter Q et R.

C.5. Calculer les matrices Q2, R2, QR, RQ. Que peut--on dire des endomorphismes 
q et
r de IR2 canoniquement associés aux matrices Q et R (on pourra préciser la 
réponse

en utilisant les droites F et G de la question B.1.) ?
C.6. En déduire que

V(s,t) EUR IR2 E(s) E(t) == E(s + t) .

Que dire de (E(t))" pour n EUR IN ?, de (E(t)) _1 ?
L'application E : t r---> E(t), de IR vers M2(IR), est--elle injective ?

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