X Maths 2 PC 2003

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2003 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***
Pfaffien d'une matrice antisymétrique

Le but du problème est d'étudier une application définie sur les matrices 
antisymétriques
réelles d'ordre pair, dont le carré est l'application déterminant.

Toutes les matrices considérées sont à coefficients réels. Une matrice d'ordre 
p, p E N*, est
une matrice carrée à p lignes et 1) colonnes. On désigne par id E l'application 
identité d'un espace

vectoriel E, par Ip la matrice identité d'ordre p et par Op la matrice 
nulle\d'ordre 19. On note Ap
l'espace vectoriel des matrices antisymétriques d'ordre p.

\ Première partie .;

1. Montrer que si A est une matrice antisymétrique d'ordre impair, DetA = O.

2. Soit D une matrice diagonale d'ordre m, m E N*. Oalculerén fonction des 
coefficients

diagonaux de D le déterminant de la matriced'ordre 2m, (%" BD).
. \ ' m

Soit (E', ( | )) un espace vectoriel euclidien. Dans tout le problème f est un 
endomorphisme
de E tel que

f* = --f .
où f* désigne l'adjoint de f.

3. On suppose que f2= 0. Montrer que f = O.
4. On suppose que f2 + idE = 0.

&) Montrer que f est un automorphisme orthogonal de E.

b) Montrer que la dimension de E est paire.
c) Soit ?) E E. À quelle condition les vecteurs U et f (v) sont--ils 
linéairement indépendants ?

_ (1) Soit F l'orthogonal du sous--espace vectoriel de E engendré par 1) et 
f(v). Montrer que
f(F) c F.

e) Soit n = 27ri;m ; 1, la dimension de E. Montrer qu'il existe une famille 
(,U1, . . . ,v...) de
vecteurs de E telle que (vl, . .. ,v..., f(v1), . .. , f (cm)) soit une base 
orthonormale de E. Quelle
est la matrice de f dans cette base ? '

5.a) Montrer que f2 est diagonalisable dans R. On nOte À1, . .. ,Àk les valeurs 
propres
distinctes de f 2 et E; l'espace propre correspondant à la valeur propre Àz-, 1 
< 'à < k. Montrer qu'on a une décomposition en somme directe orthogonale, b) Montrer que, pour tout 72 tel que 1 < 2' { k, Ài < 0. c) Montrer que, pour tout 73 tel que 1 < 72 < lc, f (EZ) C Ed. 6.a) En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que pour toute matrice A E A2..., il existe une matrice orthogonale Q d'ordre 2m et une matrice diagonale D d'ordre m telles que b) En déduire que pour toute matrice A E A2..., il existe une matrice M d'ordre 2m telle que A = tMJg...M, où J2m = (I 0 ). m ... Deuxième partie Soit E un espace vectoriel réel et q un entier > 2. On appelle forme 
q-lz'néaire alternée sur
E une application ou : Eq --+ R satisfaisant les conditions suivantes : ,

(A) si a:1, . .. ,a:q sont des vecteurs de E et s'il existe un entier 73, 1 < i < q_-- 1, tel que :ci = sul--+1, alors w(oe1,.... ,oeq) =0; en d'autres termes, l'application s'annule Si deux arguments consécutifs sont égaux; (B) pour tout entier 72, 1 { i < q, si a:1,. . . ,oei_1, axe-+1, . . . ,oeq sont des vecteurs quelconques ' de E, l'application de E dans R définie par oe +----> w(æ1, . . . ,a:i_1, a:, 
OEi+1, . . . ,:cq) est linéaire; en
d'autres termes, l'application ou est linéaire par rapport a chaque variable.

On note Altq(E) l'ensemble des formes q--linéaires alternées sur E.

)

7 .a) Soit au EUR Altq(E). Montrer que, pour tout entier z' tel que 1 < i < q -- 1, on a l'identité w(OE1,.... ,OEi_1,OEi+1,oei,æi+2,... ,OEq) : -- M(OE1,.... ,OEq) , pour tous au, . .. ,æq dans E; en d'autres termes ca change de signe si l'on permute deux argu-- ments consécutifs. b) Soit ou E Altq(E). Montrer que s'il existe des entiers z' et j,z' ;£j, 1 < 72 { q, 1 < j < q, tels que a:,-- = a:,, alors ... w(æ1,.... ,a:q) =D .. c) Montrer que, pour tout entier g > 2, Altq(E) est un espace vectoriel réel.

d) On admet que si E est de dimension n, la dimension de Altn (E) est égale à 
1. Donner
une base de cet espace vectoriel.

Soit au EUR Alt2(E). On définit une suite w(p), p entier > 1, par larécurrence 
suivante : w... = w,
et si 19 > 2, ' '

w (331, . .. ...--2...) = P(A) Detg(oe1, . .. ,OE2...) ,
pour tous 331, . . . ,oe2m E E, oùDetB désigne le déterminant dans la base 
canonique de R2m. Le

nombre P(A) est appelé pfaflîen de A.

b) Calculer P(A) lorsque A E A4, en fonction des coefficients 611,2, (11,3, 
a1,4,
a2,3. a2,4, a3,4 de A--

c) Lorsque A : (03 BD), où D est une matrice diagonale d'ordre m, calculer P(A)
m

en fonction des coefficients diagonaux de D, et déterminer un nombre réel 0: 
indépendant de D

tel que
P(A) = & DetD .

Troisième partie

11. Soit A E A2... et soit M une matrice d'ordre 2m.
&) Montrer que tM AM EUR A2....
b) Montrer que P('MAM)= Det(M)P(A ).

12. En utilisant le résultat de la question 6.a), montrer que, pour A E A2...,
(P(A))2 = Det(A) ./

13. Soit H : A2... --> R une application telle que Il(tM AM ) : Det(M)H(A), 
pour tout
' A E A2... et pour toute matrice M d'ordre 2m. Montrer qu'il existe un nombre 
réel K: tel que,

pour tout A E A2..., H(A) : æP(A).

14. Soit M une matrice d'ordre 2777. telle que tMJZmM= .72..., où .72... est la 
matrice définie
à la question 6. b). Montrer que Det(M ) -- 1.

__t . '
15.8) Soit B une matrice d'ordre m et soit A : <%" 0 B). Exprimer P (A) en fonction - m de Det(B). b) Soient m1 et m2 des entiers> 1, A1 EUR A2...1, A2 EUR A2m2, et soit

A1 02m 2m
A = 17 2 ,
(02m2 ,2m1 A2

où 0... ml désigne la matrice nulle a m lignes et m' colonnes. Exprimer P(A) en 
fonction de P (A1)
et de P(A2).