MA THÉMA TIQUES / Filière PSI
MATHÉMATIQUES |
Objet du problème :
Il s'agit de calculer par plusieurs méthodes les intégrales In définies dans la
partie II.
Notations : Cp : (") = n_!
n p pl(n--p)!
Partie I -
I.A - Soit f une application de classe C1 sur [a,b] et à valeurs dans IR.
Montrer
que : lim ff(t)sinxt dt : 0 .
x --> +00 a
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I.B - On note Jn : _|Î Sl?nîtdt , pour n & IN.
I.B.1) Justifier l'existence de J n .
I.B.2) Calculer J0, J1 , J2 , J3.
I.B.3) Exprimer J n -- J n_2 en fonction de n et en déduire une expression de
J " en fonction de n .
I.B.4) Montrer que: lim ( Jn'Jn--1) : 0 , et en déduire: lim Jn : 7--t.
n-->+oo n-->+oo
t\)
+00 n
, - , , » w - , . _ (--1)
I.B.5) Dedu1re des resultats precedents legahte . 7t _ 4 E M + 1 .
I.C - " : °
I.C.1) Soit a un réel strictement positif. Justifier l'existence de l'intégrale
r ... dt .
() smt
Concours Centrale-Supélec 2000 1/4
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Filiè ere PSI
1.0.2) Soit a e ]0, n [ . Prouver que l'application f telle que
f(x) _ g--C--OE pour x$O et f(0)-- _ 0 est de classe C sur [O, a].
sinx -- x
2
On pourra écrire : f(x) = , pour x E ]O,a ] .
sinx
x
I.C.3) Déterminer
lim U: Sinntdt--JZ Sin""dt) lorsque a e ]0, n[ .
n_)+ t Slnt
I.C.4) En déduire la valeur de
sinnt T_t % . 7t
lim _|at dt lorsque a -- ,puis a <-- ,pu1s a > --.
n _) +oo 2 2 2
. . , , , ,. , '... sin
I. D- En ut1hsant les resultats precedents et l 1ntegrale _[0 T tdt ,montrer que
la fonction F: X |-->JÎÊ S--'----nt dt admet'E -- 2pour limite lorsque x tend
vers en +oo.
On posera 11=J0 ? dt : 5
1
I. E- En utilisant J(n+ )" 5--1"
t dt, montrer que l'application
[t 1--> SiTnt] n'est pas intégrable sur ]0, +oo[ .
Partie II -
II.A - Montrer que pour tout n 2 2 , l'application
sint "
[t 1--> (T) } est intégrable sur ]0, +oo[ . On pose :
sint
In =_[0 °°( t --)n dt.
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II.B - Montrer que : I1 : 12 (11 a été définie en 1D).
II.C - Montrer: lim In : O.
n --+ +oo
II.D - Montrer que : In > O pour n 21 . (On pourra utiliser une partition judi-
cieuse de l'intervalle d'intégration).
Partie III -
Pour n e ]N et k 6 {O, n -- 1} , on considère les applications
gn : ]O,+oo[-->IR définie par gn(t) = (sint)"
l
et hn k : ]O,+oo[--a IR définie par hn k = " kgfÏ'(t),
, , t _
où gge) désigne la dérivée d'ordre k de gn.
III.A - Montrer que pour tout k 6 {O, n -- 2} , hn, ,, est intégrable sur ]0,
+oo[ .
III.B - Montrer que pour n 2 2 et k 6 {O, n -- 2} , la valeur de l'expression
(n --k --1)!J;oehn'k(t)dt ne dépend pas de k .
X
III.C - Pour n 2 2 , prouver que la fonction G : X |----> lo hn' k(t) dt admet
en +oo une
limite finie, notée jÎhn, k(t)dt , et que, pour tout k & {O, ..., n -- 1} :
+°°h tdt k 1v'°°h (t)dt
_[0 n,n--1() _ (n"-- _ )"'O n,k '
_ , - . _ 1 +°°1
III.D En dedu1re, pour n 22 . In _ (n_1)!_[0 tgn (t)dt.
III.E -
III.E.1) Établir pour tout p & IN* et tout t & IR les résultats suivants :
p
4p(sint)2p = CÊP +2 2 (--1)kCËI)--kcos(2kt) (1)
k = 1
2 1 p le k
4p(sint) '" = 2 (-1) CËP--+lsin(2k+ 1)t (2)
k = 0
III.E.2) En déduire, en distinguant les cas n = 2 p et n = 2 p + 1 , une expres-
sion de I n du type qnn où qn est une somme de nombres rationnels (on pourra
faire intervenir I1 dans les calculs).
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Retrouver la valeur de 12 , puis calculer I 3 et I 4 .
Partie IV -
IV.A - Montrer, pour tout n e ]N* et tout x réel positif l'existence de
l'intégrale :
A (x) = f°° _(Sintx)n dt
" 0 t"(1 + 152)
NB - Montrer que l'application [x l-----> A,,(x)] est de classe C2 sur IR+, et
qu'elle
vérifie, pour tout n 2 2 , l'équation différentielle :
(En) :y"--n2y : n(n--1)An_z(x)--n2xn--II
IV.C-
IV.C.1) Résoudre l'équation (E2)-
IV.C.2) En déduire une expression de A2 à l'aide de 12 (on considérera les
valeurs de A2(O) et A'2(O)).
IV.C.8) Montrer que A2(x) : O(x2) quand x tend vers +oo et retrouver ainsi la
valeur de 12 .
IV.D - Exprimer A'1 à l'aide de A"2 et en déduire une expression de A1 .
IV.E - En procédant de manière analogue à IV.C, obtenir A3 et I3 .
IV.F - Montrer que, pour tout n 6 IN* , A,, peut se mettre sous la forme :
A,,(x) = e"'"Q, +R,,
