Mines Maths toutes filières 2005

CONCOURS COMMUN 2005
DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)

Jeudi 19 mai 2005 ,de 14h00 à 18h00

Instructions générales:

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1 / 4, 
2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière a la rédaction : 
les copies illisibles ou

mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à 
code à barres correspon--

dante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

PROBLÈME D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE

Les quatre parties A, B, C, D de ce problème Sont totalement indépendantes 
entre elles.

Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel muni d'un repère 
orthonormé direct
--.--> --.> --+

R = (O, 2 , j , k ) . On note 5 l'ensemble des points de l'espace et E 
l'ensemble des vecteurs de

l'espace. Les difïérentes coordonnées et équations qui apparaissent dans 
l'énoncé sont relatives au
repère R.

Si Î = x? + y? + zÎ, on pourra aussi noter Î : (a:, y, z) .

Si (1,5 et 5 sont trois réels fixés et si "17, Î' et W sont trois vecteurs 
fixés de E, on note f
l'application linéaire de E dans E définie pour tout vecteur ?? de E par

f(Î) =a(Î-Î)î+fiÎ+6Î/\W

A - Etude de l'intersection de deux plans mobiles et d'un plan fixe
--> Z] = 2
k 50 = 1

Q le plan d'équation y + z = 0 et enfin, pour tout réel m, P... est le plan 
d'équation a: + my -- mz : 1.

On note D' la droite passant par O dirigée par E' = 7 + 7 + 7

, D la droite d'équations {

A -- 1) Donner un vecteur normal 7--73"... de P... ainsi qu'un point et un 
vecteur directeur de D.

Vérifier que tous les plans P... contiennent la droite D.

A - 2) Calculer 7""...' : fi...' /\ ?. En déduire que D' n'est pas orthogonale 
à P.... On appelle alors R...
l'unique plan contenant D' et perpendiculaire à P.... Obtenir une équation 
cartésienne de R....

A - 3) Déterminer, pour tout réel m, les coordonnées dans R de I... point 
d'intersection des plans

P..., Q et R....
A - 4) On note (S) d'équation 5132 + y2 + z2 = a: et O le point de Q de 
coordonnées (%, 0, 0) .

Préciser la nature géométrique de (S) ainsi que les éléments géométriques qui 
le caractérisent.

A - 5) Vérifier que [... appartient a (S) puis que I... appartient a un cercle 
dont on donnera le centre
et le rayon.

A - 6) Déterminer l'ensemble F des points M de EUR par lesquels passe un et un 
seul plan P....

Quelle est la réunion des plans P... lorsque m décrit IR?

B - Etude d'un exemple d'application f
Dans cette partie B, onprend Î=Î=Î+?+Î, W= Î+Î--5Î, a=3,fi= ----3 etô= 1.

B - 1) Vérifier que f (oe, y, z) = (4y + 22, d, 6) où l'on exprimera d et e en 
fonction de a:, y et 2.
B - 2) Déterminer une base et la dimension du noyau de f. f est-il un 
automorphisme de E ?
B - 3) Enoncer complètement le théorème du rang. Obtenir le rang de f.

B -- 4) Montrer, dans le cas général, que si 4,0 est une application linéaire 
définie sur le lR-espace
vectoriel G où G est engendré par les vecteurs 'êf, EUR2' et êä', alors l'image 
de 90 est le IR--espace
vectoriel engendré par les vecteurs go (ëî) ,g0 ('ê'2') et cp ( ë'ä') .

B - 5) Déterminer une base de l'image de f.

B - 6) Montrer que B' = (f (f (?)) ,f (7) ,?) est une base de E.

Obtenir ensuite la matrice A' de f dans B' .

B - 7) Sachant que la matrice de passage P de la base B' a la base B = (Ï, ?, 
?) est l'une des

deux matrices suivantes :

1601 0--21

1
P1= --8 2 0 ;P2=3--2 0 8 4
16 4 0 32 32 --16

préciser, en argumentant votre choix, laquelle est P.
Donner le lien matriciel reliant A = M 3 (f) a A' = M B' (f) .

C - Etude d'un deuxième exemple

Dans cette partie C, on prend ÎL" = "v" = ?+ ?+ Î,a : --3,fi = 5 et 6 = O.
2 --3 --3
On admet qu' alors M = ----3 2 --3 est la matrice de f dans la base B = (7, ?, 
Î) .
--3 ----3 2
1 0 0
On rappelle que, par convention, on note M 0 = 0 1 0 = 13.
' 0 0 1

C - 1) Prouver, par récurrence sur n, que pour tout entier naturel n, on peut 
trouver deux réels
(qu'on notera an et bn) tels que

an bn bn
M " = bn an bn
bn bn an

On obtiendra ainsi les relations définissant an+1 et bn+1 en fonction de an et 
de bn.
C - 2) En utilisant les relations précédemment trouvées, vérifier que Vn E ]N, 
bn+2 -- bn+1 -- 20bn = O.

C - 3) En déduire la valeur de bn puis celle de an en fonction de n.

C - 4) Vérifier que M 2 est combinaison linéaire de M et de la matrice 13.

En déduire que M est inversible et expliciter les coefficients de la matrice M 
"1.

D -- Etude d'un troisième cas
Dans cette partie D, on prend fi = 6 = 0. On renomme alors g l'application f de 
l'introduction, soit

VÎEE,g(Y) =oz(Î-Î)Î
où Î' et "17' sont deux vecteurs non nuls fixés de E et où oz est un réel non 
nul.

D - 1) Vérifier que si oz (Î- î?)-- -- 1, alors 9 est un projecteur.

Démontrer ensuite que si g est un projecteur, alors 04 (Î ?) = 1.

D-2) Onsupposequea(Î-Î)=1.OnnoteF1={ÎEE/îî Y= 0}etF2= {Àv /ÀGIR}.
Vérifier que F1 et F2 sont supplémentaires dans E (l'écriture ? = ("515> ---- g 
(?)) + g (Îc') pourra
être utile).

Sur quel espace vectoriel parallèlement à quel autre g est--elle alors la 
projection ?

D - 3) A l'aide des deux questions précédentes, trouver la matrice H B dans la 
base B = (7, ?, ?)

de la projection p sur P {Y = (a:,y, 2) EUR E/oe + y + z = 0} parallèlement à 
la droite D

--+> --> --.+
@

engendrée par _] + k -- 5

PROBLÈME D' ANALYSE

ln (a:)

A - Etude de la fonction ]" telle que f (w) = 0 si a: = 0 et f (a:) = sinon

A - 1) Obtenir l'ensemble de définition D de f.
- 2) f est-elle dérivable en 0 ?
A - 3) Justifier que f est de classe C1 sur [0 ;1[.

A - 4) Dresser le tableau de variations de f.

On y fera apparaître les différentes limites et la valeur de f (8) .

Un
ln (vn)

B - Etude de la suite ?) telle que vo = 3 et Vn EUR IN, vn+1 =

B - 1) Montrer que Vn E ]N, on > e.

B -- 2) Justifier que la suite @ converge et déterminer sa limite.

1

B- 3) MontrerqueVæ>e, 0 1000, déterminer un entier n1 a partir duquel Un est 
une valeur approchée
de e a 10"12 près.

:c2 -- 1
æln(oe)

C - Etude de la fonction g telle que 9 (513) =

C 1) On admet ue sur D\ {0} '(g;) ---- _L°Ïî_h(oe) avec h(æ) --ln(æ)+ 1 --æ2
q , ,g --æ2ln2(æ) _ 1+æ2'

Etudier les variations de g.

C - 2) Déterminer la limite de g en 1.

C - 3) Déterminer la position relative de la courbe représentative de g par 
rapport a celle de f.
Déterminer l'aire du domaine plan délimité par les courbes représentatives de 
f_ et de 9 ainsi que

par les droites d'équation cc : 2 et a: = e.

D - Tracé d'une courbe paramétrée

On considère (P) la courbe donnée par le paramétrage{ ÊZË3 Î 58; pour t 
décrivant D\ {O} .

D - 1) Déterminer les asymptotes de (F) ainsi que la position relative de (I') 
par rapport à celles--ci.

D - 2) Tracer la courbe (F) en précisant la tangente au point de paramètre t = 
e.

E - Solutions d'une équation différentielle
On note (El) lequat1on différentielle ----a: 2' (a:) + 5132 (ac) : z2 (a:).

On recherche les fonctions z solutions de (El) sur K = ]1 ;+oo[ et qui ne 
s'annulent pas sur K.

1
E - 1) On pose y : --Z--. Vérifier que y est solution sur K d'une équation 
différentielle linéaire du

premier ordre (Eg) .

ln aa:
E - 2) Résoudre (Eg) sur K. On vérifiera ensuite que ces solutions sont de la 
forme ga : oe +-----> (a: ) .
:1:
Vérifier que, pour a > 1, ga ne s'annule pas sur K. On a donc ainsi z (oe) : ln 
(art)
33
E - 3) Pour (1 > 0, on note (Ca) la courbe représentative de la fonction fa : 
oe t-----+ ln (aoe).

Montrer que (Ca) est l'image de (Cl) par une homothétie de centre 0 dont on 
précisera le rapport.

F - Etude d'une fonction définie à l'aide d'une intégrale

On pose H(æ) : -î--/æf(t) dt.
0

F - 1) Déterminer l'ensemble de définition J de H.

F - 2) Etudier la limite de H en 0.
F -- 3) Justifier qu'il existe un réel @ dans ]0 ; 1] tel que

VoeEUR[a;1[,â--(æ--1)Sin(oe)£%(oe--l)

En déduire la limite de H à gauche en 1.

FIN DU SUJET